DAY 2　素因数分解と約数の個数

今回は素因数分解と約数の個数について学習した。

次の重要な定理について考える。

定理1

ある整数の素因数分解が $a_1^{e_1}a_2^{e_2} \cdots a_n^{e_n}$ とかけるとき

その整数の正の約数の個数は $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_n+1)$

証明

ある整数の素因数分解が $a_1^{e_1}a_2^{e_2} \cdots a_n^{e_n}$ とかけるとき

その整数の１つの正の約数は $a_1^{b_1}a_2^{b_2} \cdots a_n^{b_n} (0 \leqq b_i \leqq e_i)$ とかける。

したがって全ての正の約数の個数は $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_n+1)$ となる。

この証明はこのサイトを参考にした。

これを用いて以下の問題を解く。

例題

20の倍数であって正の約数の個数が35個であるような自然数を全て求めよ。(チャート式改)

回答

$35=5\cdot7$ より求める自然数の素因数分解の形は整数 $p,q$ を用いて

$p^{5-1}\cdot q^{7-1}=p^4 \cdot q^6$ または $p^{35-1}\cdot q^{1-1} = p^{34}$ の形でかける。

また、 $20=2^2 \cdot 5$ より形が合致するのは $p^4 \cdot q^6$ の形である。

よって求める自然数は $(p,q)=(2,5)$ のとき $2^4 \cdot 5^6 = 250000,$

$(p,q)=(5,2)$ のとき $5^4 \cdot 2^6 = 40000$

こんなもんである。今日は誕生日ということもあってだらけてしまった気がする。明日はしっかりと勉強したい。

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