DAY 16 除法の原理

今回は題について学習した。

以下の証明についてはこのサイトを参考にした。

定理1-除法の原理

整数aと自然数bについて、

a=bq+r(0 \leq r \lt b)

となるような整数q,rがただ一つに定まる。

証明

(a=bq+rのかたちで書けること)

a \lt (t+1)bとなるような整数tの集合をAとすると最小の要素が存在(ここは厳密にやる場合証明の必要があるが高校範囲を逸脱するので触れない)するからそれをqとすると

qは最小の要素であるからq-1はAの要素ではない。

したがって (q-1+1)b=qb \leq a

ここまでのことをまとめるとqb \leq a \lt (q+1)b

いまr=a-bqとすると先の不等式から0 \leq r \lt b

したがって条件を満たすq,rの存在が確かめられた。

(一意性)

a=bq+r=bQ+Rとふた通りに書けたとすると

b(q-Q)=R-rとなる。

0 \leq r,R \lt bから明らかに 0 \leq |R-r| \lt b

よってbは自然数であるから0 \leq b|q-Q| \lt b

すなわち0 \leq |q-Q| \lt 1

q-Qは整数であるからq-Q=0

すなわちq=Q

同様にr=Rであるからr,qがただ一つに定まることが示された。

除法の原理といっても高校範囲では証明のしようがないので原理といっているだけで所謂公理ではない。 除法の原理におけるqを商、rを剰余(余り)という。

例題

aを3で割ると2あまり、bを5で割ると2余る。このとき5a+3bを15で割ったときの余りを求めよ。(チャート式 改)

定理1よりa=3q+2,b=5Q+2となる整数q,Qが存在する。

よって5a+3b=15(q+Q+1)+1

したがって余りは1である。

以上である。

今日の勉強時間

  • 数学その他（ネット等)：2時間

合計：２時間