DAY 19 連続整数の積の性質

今回は上記について学習した.

定理1

連続するn個の整数の積はn!の倍数である。

証明

連続するn個の整数の積がn!の倍数であることは、

mが整数であるとき\frac{m(m-1) \cdots (m-n+1)}{n!}が整数であることと同値である。

\frac{m(m-1) \cdots (m-n+1)}{n!}=\frac{m!}{n!(m-n)!}= _{m}C_nであり、

_{m}C_nはm個のものからn個のものを選ぶ組み合わせの数であるから、明らかに整数である。

よって題意は示された。

これは厳密にはまずいのではという気はしないでもないが、まあ気にしないこととする。 また、前日に挙げたポリアの定理もこの定理の証明を応用すれば証明できることと思う。(高校範囲を逸脱すると書いていたが、そうでもなさそうだ)

例題

m,nを1より大きい異なる整数とするときmn^2-m^{2}nは2の倍数であることを示せ。(チャート式 改)

2=2!の倍数なので、n(n+1)=n^2+n,m(m+1)=m^2+m(連続する2つの整数の積)が出現するように変形することが重要である。 6=3!の倍数であることを示せという問題（チャートの原題はそうであった)であった場合、同様に(n-1)n(n+1)=n^3-nなどが現れるように変形する。

回答

mn^2-m^{2}n=mn^2+mn-m^{2}n-mn=mn(n+1)-nm(m+1)

連続する2つの整数の積は定理1より2の倍数であるから、ある整数k,lが存在してn(n+1)=2k,m(m+1)=2lとかける。

よってmn(n+1)-nm(m+1)=2km-2ln=2(km-ln)

km-lnは整数であるから、2(km-ln)は2の倍数である。

したがってmn^2-m^{2}nは2の倍数である。

 

今日の勉強時間

  • チャート式 基礎からの数学 I+A 1時間30分

合計：1時間30分