仮面浪人生の日記

DAY 22-1 整数受験問題(連続する整数)

次の問題についてちょっとノートをとっておきたかったので記す。

問題

$n$ が奇数のとき $n(n^4-1)$ は240の倍数であることを証明せよ。(福井工大-チャート式より)

この問題が難しいのは、直ちに240の倍数とは求まらないところである。このようなときは、素因数それぞれについてその倍数であることについて示す。

回答

$240=2^4\cdot 3\cdot 5$ であるから、 $2^4=16$ の倍数かつ $3$ の倍数かつ $5$ であることを示す。

$n(n^4-1)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)$

$=n(n+1)(n-1)(n^2-4+5)=n(n+1)(n-1)(n^2-4)+5n(n+1)(n-1)$

$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)$

$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ は連続する5つの整数の積であるから、 $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ の倍数である。

すなわち $5$ の倍数かつ $3$ の倍数である。

$n$ は奇数であるから、整数kに対して $n=2k+1$ とかける。

これを代入して $n(n^4-1)=8k(k+1)(2k+1)(2k^2+2k+1)$

$2k+1=(k-1)+(k+2)$ より

$8k(k+1)(2k+1)(2k^2+2k+1)=\{8(k-1)k(k+1)+8k(k+1)(k+2)\}(2k^2+2k+1)$

$(k-1)k(k+1)$ と $k(k+1)(k+2)$ はどちらも連続3整数の積であるから、 $3!=6$ の倍数である。

したがって全体として $8 \cdot 6=2^4\cdot3$ の倍数である。

上記から $n(n^4-1)$ が $2^4 \cdot 3\cdot 5$ の倍数であることが示された。

この手の整数問題で使え、実際に上の回答で使用しているのが以下の定理である。

定理1

$n$ が整数のとき、 $n(n+1)(2n+1)$ は $6$ の倍数である。

証明1

$n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)$

$n(n+1)(n+2)$ と $n(n+1)(n-1)$ はどちらも連続する3整数の積である。

したがって $3!=6$ の倍数である。

よって題意は示された。

これは上の回答で使ったものとまったく同じで、連続整数の積の公式を利用したものだが、数列の公式を知っていれば次の証明も考えられる。

証明2

$n(n+1)(2n+1)=6\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=6\displaystyle\cdot\sum_{k=1}^{n}k^2$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ は明らかに整数であるから $6\displaystyle\cdot\sum_{k=1}^{n}k^2$ は6の倍数である。

したがって $n(n+1)(2n+1)$ は6の倍数である。

この他にも整数問題をやりたいところだが、ほぼ１ヶ月かけて全く進んでないのでどんどん次に進んでいきたい。ただ、忘れてしまっては22日間が無駄になってしまうのでちゃんと復習したい。勉強時間については後ほど記載する。

今日の勉強時間

チャート式基礎からの数学 2時間40分

合計：2時間40分