仮面浪人生の日記

DAY 32 因縁の問題(センター2017第４問)

2017年のセンター試験は私が受験生として受けたものだ。

数学IAの成績は70点、こんな点数でよく医学部を受けようなどと厚顔無恥なことが言えたものである。
あの時は私は整数問題にまったく歯が立たず、今でもあのときの問題は覚えているほどだ。
整数問題を一通り終えた今、どれほどの実力がついたのか。
あの時の問題を使って確かめていきたいと思う。

さっそく問題を見ていこう。

第４問(1)

百の位の数が $3$ 、十の位の数が $7$ 、一の位の数が $a$ である $3$ 桁の自然数を $37a$ と表記する。

$37a$ が $4$ で割り切れるのは

$a=ア,イ$ のときである。

(センター試験 2017)

解答

$37a$ が $4$ の倍数であるための必要十分条件は下2桁が $4$ の倍数であることである。(暗記推奨)

したがって $7a$ = $70+a=a+2+4\cdot 17$ が4の倍数であればよい。

すなわち $a+2$ が $4$ の倍数であればよいから、 $0\leqq a \leqq 9$ より

$a=2,6$ (ア、イ)

倍数判定法に関する基本問題である。

倍数の判定法については、もはやセンター対策の上では暗記してしまったほうが手っ取り早い。

ただ、 $4$ の倍数に関しては $100=2^2\cdot 5^2$ であることを覚えていると思い出しやすいかもしれない。

一度自分で証明をしてみるとやはり思い出しやすいだろう。

第４問(2)

千の位の数が $7$ 、百の位の数が $b$ 、十の位の数が $5$ 、一の位の数が $c$ である

$4$ 桁の自然数を $4b5c$ と表記する。

$7b5c$ が $4$ でも $9$ でも割り切れる $b,c$ の値は全部で $ウ$ 個ある。こ

れらのうち、 $7b5c$ の値が最小になるのは $b=エ,c=オ$ のときで、 $7b5c$ の値が

最大になるのは $b=カ,c=キ$ のときである。

また、 $7b5c=(6\times n)^2$ となる $b,c$ と自然数 $n$ は

$b=ク,c=ケ,n=コサ$ である。(センター試験 2017)

回答

$7b5c$ が $4$ で割り切れる必要十分条件は下2桁が $4$ の倍数であることだから、

$50+c=c+2+12\cdot 4$ より(1)と同様に $c=2,6$ である。

また $7b5c$ が $9$ で割り切れる必要十分条件は各位の和が $9$ の倍数であることだから

(i) $c=2$ のとき

$7+b+5+2=(b+5)+9$ が $9$ の倍数、すなわち $b+5$ が9の倍数であればよいから、 $b=4$

(ii) $c=6$ のとき

$7+b+5+6=b+18$ が $9$ の倍数、すなわち $b$ が9の倍数であればよいから、 $b=0,9$

したがって条件を満たすのは $7b5c=7056,7956,7452$

すなわちウ： $3$ ,エ,オ: $0,6$ 、カ,キ: $9,6$

また $7056=36\cdot 196=36\cdot 14^2$ より

ク,ケ,コサ: $0,6,14$

注意すべきは(ii)の $b$ の値を出すところで、ここで0を落としがちである。

0はいかなる数の倍数でもあるから、条件を満たすときには必ず入れておきたい。

また、 $14^2=196$ など $11^2=121$ から $19^2=361$ までは覚えておくと他の受験生に差がつけられるだろう。

第４問(3)

$1188$ の正の約数は全部で $シス$ 個ある。

これらのうち、2の倍数は $セソ$ 個、4の倍数は $タ$ 個ある。

$1188$ のすべての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には0が連続して $チツ$ 個並ぶ。

回答

$1188=2^2\cdot 3^3\cdot 11$ より $シス$ = $(2+1)(3+1)(1+1)=24$

$1188$ の正の約数は $2^l\cdot 2^m\cdot 11^n$ とかけるが

このうち $l=1$ のであるものの個数は $(3+1)(1+1)=8$

$l=2$ であるものの個数は $(3+1)(1+1)=8$

よってセソ： $8+8=16$ ,タ： $8$ となる。

また、 $16+8=24$ となるからすべての正の約数の積は $x\cdot 2^{24}$ ( $x$ は2の倍数でない整数)とかけるから

チツ：24

進数法についてはこのブログを立ち上げる前に勉強したためこのブログでは取り上げていないが、しっかり勉強しておくべき分野

のひとつである。

あと素因数分解も何気にセンターのような急かされる環境では間違えやすく、上ではさらっと書いているが先ほどやったときは $2^2\cdot 3^2\cdot 11$ と間違えてしまった。

やはりこれは日々の練習が欠かせないと思う。

センターの問題は簡単である（まだ十分な経験を積んでいない高1,高2生からは難しく見えてしまうが)から、やはりもっとも大事なのは計算スピードだろう。

第４問をとくのにかかったのは16分25秒、大問4つに全て時間を均等に分けても12.5分であるから、かなりのオーバーである。

とりあえず今は基礎力をつけることに専念したいが、時期が近くなってきたらそういった演習も試みたい。

今日の勉強時間

センター試験過去問（数学その他)：1時間46分

合計時間：1時間46分