DAY 86 第一回全統記述模試-数学

最後に記事を書いてから6日たった・・・もっと勉強しなければ。
しかしテスト期間が近いのでどうしても中間テストの勉強をしなければ・・・という事情もある。

とはいってももう5月も終わりだ。そろそろ勉強をしないと大変なことになる。

今回は例の模試の復習第二弾である。

定理1

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

証明

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}より$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

$=1-\frac{1}{n+1}$

部分分数分解を用いて計算する問題である。

模試では $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{99}{100}$ となるnを求めよという問題だった(答えは99)だったが、何を血迷ったか答えを100としてしまった。

定理2

三角形の三辺それぞれの垂直二等分線点は一点に交わり、その点は外接円の中心である。

図形の性質の証明について、きれいな図をコンピューターで描くのにはドロー系のソフト（かGeogebraなど)を用いるが、それが非常に面倒であり、私自身の学習を目的とするこのブログの方針に沿わないため、基本的には手書きのものしか掲載しない。

なるべく自身の復習のために読むだけで再現できるようには努力するが、読者は各自自分で書いてみるか他のサイトを当たるかしてもらいたい。

証明

画像：https://imgur.com/a/kmDkRSl

△ABCの辺それぞれに垂直二等分線を引き、ABの中点をP、BCの中点をQとする。

いま、ABの垂直二等分線とBCの垂直二等分線が交わる点をOとし、△OBCについて考える。

$\triangle OQB$ と $\triangle OQC$ は $\angle OQB=\angle OQC=90^\circ(垂直二等分線),BQ=CQ(左に同じ),OQ$ が共通の辺だから

$\triangle OQB\equiv\triangle OQC$

よって $OB=OC$

同様に $OA=OB$ から $OA=OB=OC$ となる。

OA=OCよりOからACに垂直な直線を引きその直線とACの交点をRとすると $\triangle ORA$ と $\triangle ORC$ について

$\angle ORA =\angle ORC =90^\circ,\angle OAC = \angle OCR(\triangle OAC は二等辺三角形)$ より $\angle AOR=\angle COR$

また $OR$ が共通であることから $\triangle ORA \equiv \triangle ORC$

よって $AR=AC$ となり、直線 $OR$ は $AC$ の垂直二等分線である。

また、 $OA=OB=OC$ であることから、 $O$ を中心とした $A,B,C$ を通るような半径 $OA=OB=OC$ の円Oが考えられる。

ある円が多角形に外接するとは、一つの円が多角形の各頂点を通ることをいうから、円Oは $\triangle ABC$ に外接する。

図形の性質の証明などだいぶ久しぶりであったから丁寧にやったつもりだが、あまり厳密にやりすぎてもそもそも点や直線とは何かという疑問が生じるのでやめにした。

時間が尽きてしまったので今日はここまでにする。

今日の勉強時間

数学その他(模試直し) 50分(ぐらい？)

合計：50分